Мои Телевизоры

Поговорим о школе

Шумер против Египта

Бороды, наколки, качки

Обратно в мавзолей



Про быстрое изучение основ математики

Меня иногда просят порекомендовать ту или иную литературу по научным или техническим вопросам, однако когда человек начинает ее читать, то часто сталкивается с непониманием даже элементарных формул что там написаны. Формул, которые вполне укладываются в школьный курс алгебры-геометрии-физики. Причем все помнят что «вроде бы что-то такое изучали», но больше «ничего не помнят». Оттого решают взяться за «повторение школьного курса», понимая, что пропущен некий важный левел. Ну и те, кто сейчас в 11-м классе и планирует сдавать ЕГЭ (на Украине — ЗНО) по математике и физике и в школе учится так себе, тоже однажды понимает что «школа заканчивается, а я реально ничего не знаю».  Скажу сразу, что имею определенный опыт работы с людьми которым нужны были точные науки и скажу вам, что да, действительно, есть класс народа которому сложно «всё это объяснить», видимо многое зависит от склада ума, но я уверен что человек с самыми средними способностями сможет легко понять  подавляющее большинство школьных тем.

Я в сотый, в тысячный раз повторюсь, что школа, в общем, не учит пониманию предмета. То есть вообще никак.  Голова ученика представляется  баком который нужно заполнить кучей фактов, после чего на экзамене он эти факты должен как-то более-менее упорядочено выгрузить на своего преподавателя и забыть навсегда.  Притом, что 90% того чему учат в школе в общем бесполезно для 95% населения.

Мы будем говорить по алгебру, геометрию и физику. Собственно тут надо сделать различие. Алгебра идет первой потому что это язык, способ записи геометрии и физики. Физика – это и есть геометрия. Геометрия природных сил, геометрия действий. Я полностью согласен с учеными считающими что если связь между четырьмя фундаментальными взаимодействиями и будет найдена, то она будет иметь чисто геометрическую интерпретацию.  То есть я веду к тому, что  легче учить геометрию и физику уже зная «всю алгебру». В школе это невозможно, потому что курс физики и геометрии жестко завязан на курс алгебры. Оттого происходят забавные и смешные вещи: например колебания и волны изучают только в последнем классе и только потому что в предпоследнем изучают синусоиды. А без них – никак, синусоида – графическая интерпретация колебательного, да и вообще любого периодического процесса. Любой реальный периодический процесс – это сумма синусоид разных амплитуд и кратных частот, этой важной вещи, впрочем,  школе не объясняют. Оттого у любого нормального человека возникает вопрос «а нафига это вообще всё нужно?». Я знал зачем это нужно только потому что занимался электроникой и знал что красивую синусоиду можно посмотреть засунув осциллограф в розетку (через делитель само собой!). И так далее.  Собственно, всё более-менее стоящее в школе изучается в последних двух классах, до этого идет просто бессмысленное размазывание соплей.

Все инженерные специальности в общем можно разделить условно на 4 группы:  а) электричество (электроника, электромеханика, электропривод и т.п), б) механика (машиностроение, автомобилестроение, приборостроение и т.п), в) тепло-холод (котлы, системы отопления, холодильные системы, системы передачи тепла), г) строительные специальности (тут имеется в виду всё – от строительства домов до строительства плотин, мостов, тоннелей).  И в общем, матаппарат там различный. Например, электроника – это «синусоиды, экспоненты, комплексные числа», а в механике комплексные числа фактически не используются, зато много аналитической геометрии.  И вообще матаппарат обычной инженерной механики в общем проще чем электроники.

АЛГЕБРА

Алгебру и геометрию нужно изучать т.н. «оптовым методом». То есть учить сразу все схожие темы. Например, изучили что такое синус, тут же изучите синусоиду, простейшие тригонометрические преобразования с синусом и тригонометрические уравнения с ним же (в школе это размазывается на 4 года).  Затем повторите то же самое для косинуса, тангенса и обратных тригонометрических функций. Если вы решили по-быстрому изучить школьный курс для сдачи ЕГЭ (ЗНО), то самое главное  научиться решать задачи.  Теорию у вас никто не спросит, только задачи. Скажу сразу, что, как мне показалось, российское ЕГЭ чуть сложнее украинского ЗНО, хотя мое мнение может быть субъективным. Задачи за последние 4 года в общем одинаковы, поэтому хоть как-то зная теорию и перерешав их все, можно смело идти на ЕГЭ (ЗНО).

1. Итак, для того чтобы начать изучать собственно алгебру, нужно знать четыре арифметических действия, положительные и отрицательные числа, уметь работать с обыкновенными и десятичными дробями, знать что такое координатная плоскость и модуль числа, уметь решать простейшие уравнения (типа 2x + 5 = 10). Почему на изучение «всего этого» отводится целых пять лет – ума не приложу.  Хотя учитывая общий интеллектуальный фон – вполне понятно.  Для изучения геометрии нужно знать базовые понятия – прямая, отрезок, плоскость, угол, треугольник, круг, квадрат.  Ну и основные аксиомы евклидовой системы.

2. Главное понятие в школьной алгебре – функция. Опять-таки, в рамках школы – элементарная однозначная функция. Ну, то есть такая, где одному значению из одного множества, соответствует только одно значение из другого множества.  Собственно, если вы четко понимаете что такое функция, то вы уже понимаете 50% школьной алгебры.

3. В школьной алгебре изучают совсем немного функций, причем их изучение размазывают на целых пять лет.  Это совершенно неэффективно. Советую изучать сразу все школьные функции.  Нарисуйте их на бумаге, запомните как выглядят а) линейная (просто прямая), Гипербола , б) парабола, в) синусоида (косинусоида – то есть та же синусоида, но сдвинутая на 90% вперед),  обратные тригонометрические функции, кубическая функция, логарифмическая и показательная функция (при разных значениях аргумента).  Сразу скажу: обратите особое внимание на синусоиду и показательную функцию. На них «заточено» очень много чего в электронике, механике  и не только.  Помните: функция – это не просто некая линия. Каждая функция выражает тот или иной природный процесс. Например, тело брошенное под углом к горизонту (сняряд из пушки) летит по параболической траектории, в форме параболы сделаны спутниковые антенны (Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. Именно там и ставят приемную головку.  И наоборот, если параболоид сделать зеркальным, то свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей, именно так делают все фары, фонари, рефлекторы и пр.), по экспоненте убывает атмосферное давление при удалении от земли, затухают переходные процессы в электрических цепях, синусоидами описывают различные колебания и т.д.  То есть это всё «не просто так», но в школе это не объясняют.

 002

4. Почему-то исследование функции начинают только в 9-м классе (по современной системе даже в 10-м классе), однако это нужно делать сразу, даже без знания производной. Изучите основные свойства функций – область определения и область значения,  периодичность, нули, четность, период, экстремумы, асимптоты.

5. Уравнения и системы уравнений. Любимая школьная тема. Не, оно как бы правильно, во всем в мире есть баланс который завязан на закон сохранения энергии (про это тоже не рассказывают, во всяком случае, в курсе алгебры). Если что-то где-то исчезло, то что-то где то появилось. В итоге всё получается «поровну». Правда, основная масса школьных уравнений вообще непонятно где может применяться и видимо дается просто как тренировка мозга, не более. Реально нужными представляются квадратные и тригонометрические уравнения.

6. Неравенства. Тема родственная уравнениям, другое дело, что решив неравенство нужно всегда проверить интервал на котором оно работает. Это особенно важно в периодических функциях. То есть неравенство это не один ответ, а, как правило, некий интервал, то есть множество ответов.

7.  Показательные уравнения, то есть уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.  Даются самые простейшие и то, для общего ознакомления.  В реальных расчетах, по-моему, ни разу не пригодились.

8. Прогрессии. Арифметическая и геометрическая.  Прикольная тема, правда, сейчас это все отлично делает программа «Эксел». Можно изучить для общего развития.

9. Последовательности и пределы.  Небольшие темы их тоже размазывают по кускам, хотя смысл тут состоит в том, чтобы от предела последовательности перейти к пределу функции, а потом и к производной. Показательно и то, что в экзаменационных тестах я практически не встречал задач ни на темы  последовательностей, ни на темы прогрессий.

10. Отдельная тема – дифференцирование и интегрирование. То есть начала высшей математики. Помните:  во всех более-менее серьезных книгах, почти все формулы даны в виде дифференциальных уравнений (про это учителя молчат, скорее всего просто не знают, если до этого не преподавали в более серьезных местах), которые в обычной школе вообще не изучаются. Если совсем грубо, то производная – это скорость изменения. То есть скорость изменения координаты во времени (то, что мы и называем скоростью и измеряем, например, в километрах в час), скорость изменения скорости во времени (ускорение), скорость изменения протекающего заряда во времени (электрической ток) и т.д.  Для каждой школьной функции есть своя производная, их нужно запомнить. Ну и приемы вычисления производной произведения, частного и сложной функции.  В школе производная используется для нахождения экстремумов функций, для решения геометрических задач связанных с построением касательной к функции (Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке) и  несложных физических задач.

11. Из интегралов изучается только один вид — формула Ньютона-Лейбница позволяющая вычислить площадь криволинейной трапеции. То есть этот «школьный интеграл» —  бесконечно большая сумма бесконечно маленьких прямоугольников образующих ту самую криволинейную трапецию.   Нужно помнить, что интегрирование как действие – сложнее дифференцирования и часто даже простейшие интегралы в элементарных функциях не интегрируются.

13. Основы векторной алгебры. Свойство векторов. Скалярное и векторное произведение.

То, что не входит в школьный курс, но надо знать хотя бы в минимальном объеме для чтения умных книг:

-Дифференцирование функций многих переменных (то есть вычисление частных производных)

— Кратное интегрирование (вычисление интеграла многих переменных)

— Вычисление интеграла по дуге, поверхности и объему

— Ряд Тейлора (в простом случае — Маклорена) и ряд Фурье

-Комплексные числа

— Свойства векторных полей. Градиент, дивергенция, ротор, Формула Грина.

-Дифференциальные уравнения. Но поскольку там очень много способов решений, нужно определиться что именно вам надо и надо ли вообще. Например, в электронике  доминируют преобразования Лапласа и решение диффуравнений операторным методом (замена интегрирования делением).

— Полярные координаты

ТРИГОНОМЕТРИЯ

При товарище Сталине это был целый отдельный предмет. У нас, в позднем СССР он как бы отдельным не был, но была специальная брошюрка под названием типа «Тригонометрические преобразования». Знаете, я до сих пор не могу понять «а на фига оно надо»? Все эти «преобразования». Ну вот что, например, нужно «из этого всего» в электронике? Разложение функции в ряд Фурье и работа с комплексными числами. Но для этого нужен минимум «тригонометрии».  В механике нужно чуть больше, но ненамного. Я же, например, через лет 10 после окончания школы вдруг словил себя на мысли, что могу не решить какое–то «преобразование» из курса этой самой тригонометрии, то есть с задачей с которой как бы должен справляться успевающий школьник, притом что спокойно решаю куда более сложные задачи. Нет, я мог посидеть и решить, знаний хватало, но вот мгновенно решить не получалось, пусть таких задач и было процентов пять.  То есть реально совершенно ненужная вещь. Не нужная в настоящем и почти никому не нужная в будущем. Из тригонометрии нужно знать главную формулу – квадрат синуса икс плюс квадрат косинуса икс равен единице, ну может еще и то, что произведение тангенса и котангенса одного и того же аргумента тоже дает единицу. Но это если вы учите «для себя». Для решения задач ЕГЭ-ЗНО нужно знать «малый джентльменский набор» преобразований, который, в общем, вмещается на половине листа формата А4.

ГЕОМЕТРИЯ

С геометрией ситуация осложняется тем, что для решения пусть даже простейших задач нужен определенный уровень знания алгебры. Скажем, теорема Пифагора проста, но нужно знать как возводить в квадрат и извлекать квадратный корень.  Формула площади поверхности шара или его объема почти такая же простая как и теорема  Пифагора, но ее проходят в конце выпускного (!) класса, причем дают просто так, а не выводят через тройной интеграл или интеграл по поверхности, так как в школе их вообще не изучают.  Почему? Да потому что в случае объема там появляется уже кубическая степень, а при решении задач  иногда приходится извлекать корень 3-й степени. Вообще, больше половины школьной геометрии это: а) нахождение площадей простых фигур (параллелограмм, квадрат, ромб, треугольник, трапеция, круг) и длин их сторон, нахождение объемов и площадей поверхности 3D-фигур (куб, призма, пирамида, конус, цилиндр, шар). Особенной любовью у составителей учебников почему-то пользуются треугольники. Сам не знаю почему. Для их решения нужно знать теорему косинусов и ее частный случай – теорему Пифагора (для прямоугольного треугольника). Можно пользоваться и теоремой синусов.  Вся «школьная геометрия» — это реально штук 15 формул в общем полезных в жизни, которые можно запомнить за пару дней, ну и еще пару недель потратить на решение задач. Через 20-30 дней вся школьная геометрия у вас в кармане.

Отдельная тема – так называемая аналитическая геометрия. Ну то есть решение геометрических задач чисто алгебраическими методами без построений. Скажем, дано вам две точки, нужно составить уравнение прямой проходящей через них, а потом написать уравнение прямой перпендикулярной к ней в такой то точке. Или например найти перпендикуляр к касательной к параболе в такой-то точке.  Вопрос решается знанием еще нескольких форму

P.S. Надо будет еще картинок наглядных подобрать.

26.10.2013

matem

Tags: ,

Рецензии

Техника

Статьи

Оперы